を最近読み始めたのだが、基本知識がなさすぎて最初の時点でつまづいた。
当然、全てが理解できるとは思っていないが、フリーエ変換のフの字も出る前の基本知識の説明の時点でつまづいたら先に進みようがないため調べることに。
でてきた式が
ふむふむ、なるほど、なんで？って感じ。
三角関数は、
- しんこうこうしん
- ここマイナスしんしん
- しんたすしんはにしんこう
- こうたすこうはにこしん
公式の導き方も知ってたような記憶があったが、知ってたかもという記憶だけ・・・
まずは三角関数からかと、ググッて勉強。先は長い。Wikipedia に色々公式が載っていた。
まずは、ピタゴラスの定理より
この時点で悩むことになるが・・・
半径 1 の単円で角度 X の場合、x = cosX, y = sinX となり、直角三角形の斜辺の 2 乗は各辺の 2 乗の和になることから上記、式になるようだ。
次は、加法定理。
しんこうこうしん、ここマイナスしんしんは加法定理のようだ。
左辺を覚えてないと意味がなかった。
加法定理の導き方は Wikipedia に載っていた。
A(cos(-α), sin(-α)) B(cosβ, sinβ) の線分の長さから求めるものしか分からなかったが。
線分 AB の長さの 2 乗は、
途中が省かれてて、最初見たときは？だったが、
上記ピタゴラスの定理により、2 に変換されている。
また、sin(-X) = -sinX, cos(-X) = conX による変換も行われる。
次に、+α分回転させた、A'(cos(-α + α), sin(-α + α)) = (1, 0), B'(cos(β + α), sin(β + α)) を考える。
線分 A'B' の長さの 2 乗は、回転させるまえの線分 AB の長さの 2 乗に一致することにより求めるようだ。
さらに、加法定理より積和公式を求める。
- しんたすしんはにしんこう
- こうたすこうはにこしん
cos の加法定理、
の2つの式を足して、
が積和公式の一つ。
ここで、α = x, β = x とすると、
となりようやく本題の式に代入可能な形になった。
1/2 は外に出せるはず。で積分だが、+1 の積分は、+x となるのはいいが、問題は cos2x の部分。
cos x であれば、sin x なわけだが・・・
で調べてみると、合成関数の積分なるものを使うっぽい。
t = 2x として、cos t とする。これを t で積分すると sin ｔ。ただこれは t の積分なので
x でやるためには、 t を微分したものを用意して、
で割ってやると
となり、
やっと繋がった・・・
すごい遠回りをしてる気もする。意外とあっさり変換できたりして・・・
